Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Aplikasi Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Rumus deret geometri tak hingga memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk:

Matematika Keuangan

• Menghitung bunga majemuk pada tabungan dan pinjaman.
• Menentukan nilai sekarang dari aliran pendapatan masa depan (anuitas).
• Menilai investasi dan menentukan tingkat pengembalian.

Fisika

• Menghitung intensitas cahaya pada jarak tertentu dari sumber cahaya.
• Menentukan frekuensi resonansi pada rangkaian osilasi.
• Menghitung amplitudo gelombang yang merambat melalui medium.

Teknik

• Menganalisis stabilitas sistem umpan balik.
• Menentukan respons frekuensi filter dan sirkuit.
• Menghitung tegangan dan arus dalam rangkaian listrik.

Sifat-sifat Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga memiliki sifat-sifat unik yang menentukan konvergensi dan divergensinya. Sifat-sifat ini penting untuk memahami perilaku deret geometri dan menerapkannya dalam berbagai aplikasi.

Jumlah Tak Hingga dari Deret Geometri Konvergen

Jika |r| < 1, deret geometri tak hingga akan konvergen ke jumlah tak hingga yang diberikan oleh:

S = a / (1 – r)

Dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio umum.

Jumlah Tak Hingga dari Deret Geometri Divergen

Jika |r| ≥ 1, deret geometri tak hingga akan divergen. Ini berarti bahwa jumlah sukunya tidak mendekati nilai tertentu saat jumlah suku mendekati tak hingga.

Pembuktian Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Pembuktian rumus jumlah deret geometri tak hingga didasarkan pada konsep kesamaan dua deret geometri. Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah tak hingga S.

Kita dapat mengalikan setiap suku deret tersebut dengan r untuk memperoleh deret geometri baru dengan suku pertama ar dan rasio r. Jumlah tak hingga deret baru ini adalah rS.

Sekarang, kita dapat mengurangkan deret geometri baru dari deret geometri asli:

a + ar + ar² + … = S

ar + ar² + ar³ + … = rS

————————————

a – ar = S – rS

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, kita memperoleh:

a(1 – r) = S(1 – r)

S = a / (1 – r)

Ini adalah rumus jumlah deret geometri tak hingga.